طبيعة الرياضيات وتاريخها

                                             المقدمة

الرياضيات هي أكثر من منهج وفن ولغة وهي جسم المعرفة الذي يخدم محتواه عالم الطبيعة والاجتماع والفيلسوف والمنطقي والفنان وهي تحتل مكانا متميزا بين العلوم لأنها أكثر دقة لذا أطلق عليها اسم ملكة العلوم. فالرياضيات من الممكن أن تكون أداة جيدة لوصف كثير من المواقف الحياتية التي نعيشها ، ومن الممكن أيضا أن تكون أداة جيدة تساعدنا على فهم الحياة من حولنا. والأمثلة على تغلغل الرياضيات في حياتنا كثيرة ولا تحصى .. والمفاهيم الهندسية موجودة حولنا في كل مكان : الطرق ، الجسور ، الأنفاق ، العمارات ، الأبراج .. ، والعمليات الحسابية تكاد تكون لغة ثانية لكثرة استخدامها في المتاجر والأسواق والبنوك وصفحات الجرائد والمجلات المليئة بالجداول والرسوم والإحصائيات التي تحتاج إلى خلفية رياضية لفهم مدلولاتها..

والرياضيات لغة مهمة يسهل من خلالها دراسة كثير من المواد الدراسية الأخرى مثل الفيزياء والكيمياء والأحياء والفلك وغيرها.

مراحل التطور الوظيفي للرياضيات

1- بزغت شمس الرياضيات وترعرعت وفق حاجة الإنسان إليها.

2- أصبحت نظاما فكريا له أسسه الخاصة وعلاقاته المحددة وفروعه المستقلة.

3- أصبحت علم البنيات والتراكيب والأطر التي وحدت الفروع ودمجت التفاصيل.

4- المرحلة الآنية وتمثل انتقال الرياضيات من مراحل التفاعل إلى مرحلة القيادة لأن الرياضيات أصبحت منطلق الثورة المعلوماتية وقاطرة التنمية المجتمعية.

تاريخ الرياضيات

الرياضيات شأنها شأن أي فرع من فروع المعرفة العقلية ، لذا تتميز بالنمو والتغير.

الطبيعة التجريبية لرياضيات ما قبل الحضارة الهيلينية :

ü أجبر فيضان النيل السنوي قدماء المصرين على تخطيط الأراضي بنظام معين للتقليل من خطر الفيضان.

ü واجه قدماء البابليين الحاجة الملحة للرياضيات ، فوضعو أنظمة للري تمكنوا عن طريقها من تصريف مياه المستنقعات والتحكم في الفيضان وبذا استطاعوا تحويل الأراضي الواقعة على طول نهري دجلة والفرات إلى منطقة زراعية خصبة وغنية.

ü عمل أنظمة مشابهة – قديمة – في جنوب قارة آسيا على طول نهري السند والكنج وفي شرق آسيا على طول نهري اليانجنسي وهو انج هو.

ü أيضا أدت الحاجة إلى تقويم سنوي للزراعة يفيد المزارعين والحاجة إلى الانتظام في أسواق المقايضة إلى خلق حوافز قوية لتطوير الرياضيات.

الانتقال من العصور القديمة إلى العصور الحديثة

- إنطفأ إشعاع أمجاد الرياضيات الإغريقية بعد وصولها إلى القمة في عهد إقليدس وأرشميدس وأبولونيوس وذلك مع تفكك المجتمع القديم في حوالي 400م.

- أصبح الهنود ومن بعدهم العرب الحراس الأمناء للرياضيات وذلك أثناء قرون الانحطاط التي عاشتها الحضارة الغربية.

- العديد من أعمال الإغريق والهنود في الفلك والطب والرياضيات نقلت بالترجمة إلى اللغة العربية وحفظوها للتلاميذ الأوروبيين الذين أعادوا ترجمتها إلى اللاتينية واللغات الأخرى.

- انتقلت علوم الإغريق الكلاسيكية ورياضياتها إلى أوروبا في الجزء الأخير من القرن الحادي عشر الميلادي.

- يعتبر القرن الثاني عشر هو القرن الذي ساد فيه المترجمون.

- شهد القرن الثالث عشر إدخال نظام الأعداد الهندسية والعربية إلى أوروبا، كما شهد نشأت الجامعات القديمة.

- القرن الرابع عشر كان مقفرا من جهة الرياضيات.

- شهد القرن الخامس عشر بداية النهضة الأوروبية في الآداب والمعرفة.

- اخترعت الطباعة في حوالي منصف القرن الخامس عشر.

- في القرن السابع عشر اخترع نابيير اللوغاريتمات، وأسس جاليليو جاليلي  علم الديناميكا ووضع جوهان كبلر  قوانينه المشهورة التي تصف حركة الكواكب ووضع كل من جيرارد ديسرجيوس وبليز باسكال الهندسة الإسقاطية وأسس رينيه ديكارت الهندسة التحليلية الحديثة ووضع بيير دي فرما أسس نظرية العدد الحديثة وقدم كل من باسكال وفرما وكريستيان هيجنز مستقلا عن الآخرين إسهامات نظرية الاحتمالات وأهم من ذلك كله اخترع كل من نيوتن وليبنتز حساب التفاضل والتكامل.

- يتميز القرن التاسع عشر بالاكتشافات العظيمة والتقدم السريع في العلوم الرياضية وفي تطبيقاتها في العلوم الأخرى مثل الميكانيكا والجيوديس والفلك.

- تتميز رياضيات القرن العشرين بزيادة في التعميم والتجريد واستعمال المنطق الشكلي. ولكن رغم التجريد ازدادت مجالات التطبيق في العلوم الأخرى.

- تمتاز الرياضيات بلغتها الرمزية .

ما هية الرياضيات

الرياضيات علم تجريدي من إبداع العقل البشري وهي تهتم بالأفكار والطرائق وأنماط التفكير.

ويمكن النظر إلى الرياضيات على أنها :

1- طريقة ونمط في التفكير فهي تنظم البرهان المنطقي ، وتقرر نسبة احتمال صحة فرضية أو قضية ما.

2- الرياضيات هي أيضا لغة تستخدم تعابير ورموز محددة ومعرفة بدقة فتسهل التواصل الفكري بين الناس. وتتصف بأنها لغة عالمية معروفة بتعابيرها ورموزها الموحدة عند الجميع تقريبا.

3- والرياضيات هي معرفة منظمة في بنية لها أصولها وتنظيمها وتسلسلها، بدءا بتعابير غير معرفة إلى أن تتكامل وتصل إلى نظريات وتعاميم ونتائج.

4- والرياضيات تعنى أيضا بدراسة الأنماط أي التسلسل والتتابع في الأعداد والأشكال والرموز. وهي تزودنا بنماذج لمواقف مادية أو حياتية فتمثل بذلك أجزاء من المحيط المادي الذي نعيش فيه.

5- وأخيرا ينظر إلى الرياضيات على أنها فن، وهي كفن تتمتع بجمال في تناسقها وترتيب وتسلسل الأفكار الواردة فيها. وهي تعبر عن رأي الرياضي الفنان بأكثر الطرق فعالية واقتصادا. وهي تولد أفكارا وبنى رياضية تنم عن إبداع الرياضي وقدرته على التخيل والحدس.

النظرة الحديثة إلى الرياضيات ومناهجها

- حصلت تغييرات في الرياضيات شمل جميع فروع الرياضيات وعلاقتها بأنظمة المعرفة الأخرى.

- كانت الرياضيات أداة لعلماء الطبيعيات حتى منتصف القرن الماضي.

- اليوم الرياضيات تغزو جميع فروع العلوم الطبيعية: الأحياء والكيمياء وعلوم الأرض.

- تعد الرياضيات من المقومات الأساسية لأي علم آخر.

- تلعب الرياضيات دورا كبيرا في نظرية الاحتمالات وفي العلوم الالكترونية والآلات الحاسبة.

- الاقتصاد بنظرياته يتحول تدريجيا إلى علوم رياضية فالصناعة والتجارة تعتمد على اتخاذ القرارات، وهذه بدورها مرتبطة بالإحصاء والاحتمال ارتباطا وثيقا. وكذلك بالنسبة للطب والصيدلة والعلوم الاجتماعية والإنسانية.

- يقول البروفسور مارشال ستون ( Stone,1962 ) إن التغيير الذي حصل في الرياضيات تضمن تحررها عن العالم الفيزيائي ، فالرياضيات لا تربطها بالعالم الفيزيائي أية علاقة فهي مستقلة تماما عن العالم المادي وليست بالضرورة أن تكون ذات علاقة أو ارتباط به. والتركيز على التجريد في النظرة الحديثة للرياضيات والفصل بينها وبين تطبيقاتها كان مصدر قوة لها أدى إلى نموها وتطورها بشكل واسع.

- يعتقد البعض أن الرياضيات موجودة في الطبيعة تماما مثلما توجد قوانين الفيزياء أو العلوم الطبيعية الأخرى فجاء الرياضيون واكتشفوها وبنوا عليها وابتكروا الشيء الكثير.

- يرى البعض أن الرياضي كالفنان الذي يصنع الأشياء ويبتكرها.

- يرى البعض أن الرياضيات نظام مستقل ومتكامل من المعرفة وتستخدم الأنظمة التجريدية التي تدرسها كنماذج تفسر بعض الظواهر الحسية فالهندسة الاقليدية تعتبر نموذجا رياضيا للفضاء المادي الذي نعيش فيه.

- الرياضيات تولد نفسها وتتكاثر وتنمو باطراد وتسارع فمن عناصر محدودة نستطيع تكوين وبناء مجموعة غير محدودة من العناصر والعلاقات واشتقاق الخصائص منها.

- يرى المربين والمهتمين بتدريس الرياضيات بأنها أداة مهمة لتنظيم الأفكار وفهم المحيط الذي نعيش فيه.

- ينظر موريس كلاين ( M.Kline,1974 ) إلى الرياضيات على أنها موضوع يساعد الفرد على فهم البيئة المحيطة والسيطرة عليها.وبدلا من أن يكون موضوع الرياضيات مولدا بنفسه فان الرياضيات تنمو وتزداد وتتطور من خلال خبراتنا الحسية في الواقع. ومن خلال احتياجاتنا ودوافعنا المادية لحل مشكلاتنا وزيادة فهمنا لهذا الواقع.

عند نقد كلاين على المناهج التقليدية في الرياضيات في كتابه Why Johny Cant Add أشار على المآخذ الآتية

§  التركيز على التدريب الآلي والحفظ فقد كان هدف المناهج التقليدية تدريس المهارات الحسابية وحفظ النظريات والقواعد من خلال التدريب والتكرار.

§ ظهور المفاهيم والحقائق والعمليات والقواعد منفصلة بعضها عن بعض فكانت أفرع الرياضيات المختلفة من حساب وجبر وهندسة وتحليل تدرس بشكل مستقل عن بعضها البعض.

§ عدم مراعاة الدقة والوضوح في التعبير وعدم توخي الدقة الرياضية الواجب توافرها في المناهج والكتب المدرسية.

§ احتواء المناهج والكتب التقليدية على بعض الموضوعات عديمة الجدوى أو التي فقدت أهميتها وقيمتها.

§ تحاشي المناهج التقليدية وكتبها ذكر البرهان الرياضي إلا في الهندسة.

§ افتقار المناهج والكتب إلى عنصر الدافعية والتشويق فقد كان هدفها الأساسي تدريب العقل دون الالتفات للقيمة الجمالية والفكرية.

لم يقتصر التغيير الحاصل في مقررات الرياضيات على المادة الرياضية فحسب بل شمل أيضا الوسائل والأساليب المستخدمة لإيصال المعرفة الرياضية بسهولة ويسر للأفراد.

أهمية دراسة الرياضيات

1- أداة جيدة لتفسير المواقف الحياتية.

2- معين كبير على فهم الحياة من حولنا.

3- لها تطبيقات واسعة في الحياة العامة.

4- تخدم النمو والتطور العلمي والتكنولوجي.

5- تخدم المواد الدراسية الأخرى ( الرياضيات ملكة العلوم وخادمتها ).

6- بجانب كل ذلك فإن فهم الرياضيات كعلم يهتم بدراسة البنى والتراكيب الرياضية والعلاقات المنطقية التي تربط فيما بينها يتيح جمالا رياضيا ومتعة عقلية تحث على استمرار التعلم الذاتي.

أهمية استخدام الرياضيات في مجال العلوم البحتة

1- استخدام لغة الرياضيات يمكن تلخيص وعرض الكثير من خبرات العلوم البحتة بأسلوب دقيق ومنظم.

2- تكشف الرياضيات عن العلاقات المتوقعة بين الحقائق المختلفة أو نتائج المشاهدات المختلفة لظواهر العلوم البحتة.

3- تساعد الرياضيات على الربط بين حقائق العلوم البحتة وبذا يمكن تحديد العلاقات المتداخلة وأحيانا تستخدم الرياضيات في صياغة نظرية لهذه العلاقات واختبارها كميا.

دوافع استخدام الرياضيات في العلوم الإنسانية والاجتماعية

1- الانتفاع بمزايا وخصائص الرياضة والإحصاء :

أ ) فالتعبير بالوسائل الرياضية عن عناصر المشكلات العلمية يعد تعبيرا رمزيا بالغ الدقة لا تعتريه الأرجحة أو التناقض الذي يمكن أن ينتج من استعمال اللفظ.

ب ) الرقم سواء كان مباشرا أو تجريديا فيه من المزايا ما يقرب من الموضوعية في البحوث الإنسانية والاجتماعية ومن ثم فهو يساعد على التخلص بدرجة ما من الطبيعة الوصفية التقليدية التي تغلب على البحوث الإنسانية فتسمها بسمة الاجتهاد الشخصي أو الذاتية الملفتة للنظر.

ج ) القدرة على التنبؤ الذي يقوم على نظرية الاحتمالات يدعم البناء النظري للعلوم الإنسانية والاجتماعية ويزيد من صفاتها النفعية.

2- استجابة البحوث التي تجري في ميدان العلوم الإنسانية والاجتماعية للتطور الذي أصاب طرق البحث ووسائله في العلوم البحتة :

أ ) العلوم الإنسانية لا يمكن أن تعيش أو تتطور بمعزل عن التيارات الفكرية التي تعيش في الميادين الأخرى سواء ما كان منها فلسفيا أو منهجيا. وبقدر ما يحدث من تغير في فلسفة العلوم البحتة ومناهجها ووسائل بحثها يتبعه تغير مماثل في فلسفة العلوم الإنسانية والاجتماعية ومناهج بحثها ووسائل البحث فيها.ومن العلوم الإنسانية والاجتماعية التي تعتمد على الرياضيات : علم الاجتماع الرياضي ونظرية الرسم في علم الاجتماع وعلم النفس الإحصائي وعلم الجغرافيا الرياضي وتحليل النصوص في اللغويات باستخدام العقول الالكترونية.

ب ) القفزات التي أحرزتها العلوم البحتة جعل الباحثين فيها يرتابون في النتائج التي يتوصل إليها الباحثون في العلوم الإنسانية والاجتماعية لإتباعهم مناهج ووسائل بحث تقليدية ينقصها الدليل الموضوعي ولذلك لجأ الباحثون في العلوم الإنسانية والاجتماعية إلى الوسائل الرياضية والإحصائية حتى لايوصمو بالتخلف.

ج ) إذا أراد الباحثون في مجال العلوم الإنسانية والاجتماعية أن تتم بحوثهم بدقة موضوعية فلا مناص لهم من استخدام الرياضيات والإحصاء.

القيم التربوية للرياضيات

نتيجة لعدم فهم طبيعة الرياضيات ونتيجة للنظرة السطحية لوظيفتها ونتيجة لعدم الاهتمام بالقيم الإنسانية التي تتيحها دراستها لم يستطيع كثير من الناس تقدير الجمال الحقيقي والقوة في الرياضيات مما أدى إلى النظر لها على أنها مجرد أداة تسهم في حل المشكلات التي تقابل الأفراد كل حسب طبيعة العمل الذي يقوم به. وتعد هذه النظرة نظرة ضيقة محدودة لأن للرياضيات قيما تربوية تساعد على الاستمتاع بمباهج فهم العمل الرياضي في حقيقته بطريقة أساسية صحيحة تتعدى ما وراء قواعد العد الحسابي. وهذه القيم التربوية :

1- التجريد: إن الرياضيات هي أكثر العلوم تجريدا ، ودراسة الرياضيات هي دراسة التجريد في ذاته وقد يعترض البعض على ذلك فيقولون أن الرياضيات ليست مجردة ولكنها مادية تماما بمعنى أنها محددة ودقيقة. فالتجريد شكل أو نمط يمكن تطبيقه على الأشياء الخاصة. فمثلا ما يسميه الرياضيون (الاستمرار الحقيقي للعدد) يتضمن جميع الأعداد الصحيحة والكسرية والتحليلية أيضا وعليه فنظام الأعداد الحقيقية خطة شكلية يمكن أن يحدد على أساسها كل الأطوال الممكن تنظيمها.

2- المنطق: لا يتفق الرياضيون والفلاسفة على ماهية العلاقة بين الرياضيات والمنطق ولكنهم يتفقون جميعا على أن التفكير الرياضي منطقي في طبيعته وأن الرياضيات الصحيحة هي أيضا بالضرورة منطقية في طبيعتها. ومن القيم الفريدة في دراسة الرياضيات وجود تلك الفرص الكثيرة لتعلم كيفية التفكير المنطقي مما لا يوجد إلا في علم المنطق ذاته إذ أن هدف الرياضيات الأساسي أن توضح الفروض وأن توضح ما يمكن أن يستنتج منها.

3- الاعتماد الشكلي المتبادل: العلاقة تحدد بقاعدة حيث يرتبط شيء أو أكثر بمجموعة من الأشياء الأخرى. والرياضيات تتناول البناء الشكلي المتبادل لمثل هذه القواعد التي يقوم عليه الارتباط. فمثلا (رياضيات الدالة) توضح لنا الطرق الممكنة للارتباط بين الأشياء مما يجعل الطبيعة الأساسية للمعنى العقلي طبيعة حية.

4- اليقين: الرياضيات فرع من فروع المعرفة تكون فيه النتائج مؤكدة لا محتملة ، نهائية لا مبدئية.فالفرض الثابت في الرياضيات يعتبر مؤكدا لا يقبل المناقشة. وبعامة لا يوجد مدة لحدود البحث والكشف في الرياضيات لأنه بالربط المستمر وإعادة الربط بين الأفكار وبإقامة تعريفات وبديهيات جديدة يمكن تكوين فروض جديدة لذا فالرياضيات لها جاذبية خاصة لأنها تمدنا بفرص عديدة لاكتشافات جديدة تبقى ثابتة مدى الحياة.

5- الصرامة العقلية: إن دراسة الرياضيات هي تدريب على العمل العقلي. ففي الرياضيات وحدها يصل مطلب الدقة والمنطق الخالص الدقيق (الصرامة العقلية) إلى أقصى الحدود.

6- لغة الرياضيات: تتميز الرياضيات بالمستوى العالي في التجريد ومن ثم فهي تستخدم بدل الكلمات العادية لغة قائمة على الرموزلتحقق أهدافها في تحرير الفرد من قيود التخصيص بما يلائم العمل التجريبي ملائمة تامة.إذ إن لغة الرياضيات تساعد على العد المعقد أو التوضيح أو البرهان بأكبر قدر من السهولة وأقل فرصة في الخطأ.

7- الرياضيات والواقع: إن الرياضيات هي الأساس الذي تستند إليه سائر العلوم من بيولوجية واجتماعية ونفسية إلى علوم مادية بحتة. فينبغي أن تبين الرياضيات أن قوام الفن الرياضي أن نضع المشكلة الشخصية بواسطة آليات مجردة ومبسطة على شكل (عمليات) أو على شكل (معادلات) تنطبق على الواقع تمام الانطباق.

8- الرياضيات والإبداع: النظام عامل من عوامل الجمال وإذا ما انضافت إليه الأناقة التي تعني اختيار أسهل طريقة تؤدي إلى النتيجة، غدا الجمال كاملا وذلك ما تمتاز به الرياضيات لذا لا توجد أدنى غرابة أن يكون الكثير من الرياضيين أناسا يهزهم سحر الفنون.

البنية الرياضية

أصبحت دراسة الرياضيات تقوم على مفهوم المجموعة والهيكل (البنية) أي مجموعة من العناصر وهيكل (بنية) مبني على هذه المجموعة.

البنية في الرياضيات عبارة عن مجموعة من العناصر، وعلى هذه المجموعة نضع هيكلا أي مجموعة من القواعد والعلاقات تحدد طرق العمل. وهذه القواعد تقودنا إلى دراسة الخصائص والقوانين المشتقة منها.

وتعرف البنية: بأنها منظومة من العناصر وقد تتضمن معرفات (تعاريف) ولامعرفات ومسلمات ومبرهنات (نظريات). من أمثلتها: الزمرة، الحقل، البنية الاقليدية في الهندسة أي منظومة الهندسة الاقليدية.

المفهوم الاقليدي: تتمثل الخاصية الإقليدية في أنه إذا رسمت شكلا على مسطح متماسك. فمهما حركته فإن كل خصائصه مثل الطول والمساحة وقياس الزوايا والاستقامة والترتيب والوقوع في الداخل أو الخارج أو الجوار تظل ثابتة بالإضافة إلى هيئته. أي أن التغير في موقع الشكل لا يحدث تغيرا في أي من قياساته أو هيئته. وبتعبير آخر يكون هناك تطابق تام بين الشكل في موقعه الأصلي وفي أي موقع آخر يجري تحويله إليه بالانتقال أو الدوران.

- مفتاح فهم البنية الرياضية يكمن في دراسة الأنظمة الرياضية ذات العمليات، فالزمرة مثلا نظام رياضي، والحقل كذلك نظام رياضي.

- في الرياضيات هناك مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعاتها الجزئية ويقام الهيكل على هذه المجموعات بتعريف عمليتي الجمع والضرب وعلاقة الترتيب.

- والفضاء أيضا مجموعة من النقط، مجموعاته الجزئية الخطوط والأشكال الهندسية ويتكون الهيكل الهندسي من المسلمات والتعاريف التي تحدد العلاقات بين عناصر الفضاء وتنشأ منها النظريات التي تشتق من المسلمات والتعاريف.

- البنية الرياضية هي بنية افتراضية مبنية على المسلمات ومن أمثلتها بنية إقليدس في الهندسة.

- تبدأ البنية الافتراضية بتعابير أو مصطلحات تقبل دون تعريف (النقطة، الخط المستقيم، الفضاء) ويربط بين هذه التعابير أو المصطلحات جمل رياضية تسمى فرضيات أو مسلمات.

- باستعمال قواعد المنطق الفرضي نحصل على جمل رياضية مبرهنة تسمى نظريات.

خصائص الفرضيات أو المسلمات لكي تستطيع أن تؤدي دورها في البنية الرياضية :

·  التوافق (التآلف): (عدم التناقض بين المسلمات نفسها أو بين النظريات المشتقة منها أو عدم وجود قضية ونفيها صائبتان معا أو خاطئتان معا).

· الاستقلال: (تكون مسلمة من المسلمات أو فرضية من الفرضيات مستقلة عن غيرها إذا لم تكن نتيجة يمكن التوصل إليها أو برهنتها من المسلمات أو الفرضيات الأخرى).

· الاكتمال: (تعني إن مجموعة المسلمات كافية للبرهنة على أية قضية أو نظرية تربط بين المصطلحات في البنية الرياضية).

· التصنيف: (النماذج المختلفة لنفس البنية الافتراضية متماثلة).

تدريس البنى الرياضية

من المهام الأساسية للتعلم هو إعداد الفرد إعدادا جيدا للتغلب على المشكلات التي تعترضه في حياته المستقبلية وتزويده بالمهارات والمعلومات التي تفيده في حياته وتعويده على التفكير المنظم والسليم . ويتم ذلك بطريقتين من وجهة نظر العالم التربوي برونر( Bruner,1963 ) :

1- من خلال تطبيق هذه المعلومات في مواقف شبيهة بتلك التي تم التعلم من خلالها. (انتقال أثر التدريب).

2- تعلم الأفكار العامة التي تكون أساسا لفهم بعض المسائل على أنها حالات خاصة. (انتقال المبادئ والاتجاهات).

أشار برونر إلى أربعة أسباب تؤيد دعواه إلى الاهتمام بالبنية الأساسية للموضوع والتركيز عليها في المنهاج وهي:

1- فهم بنية الموضوع وأساسياته هو وسيلة ظاهرة لتحقيق هدف انتقال المعرفة والتدريب إلى مواقف أخرى.

2- فهم أساسيات الموضوع وبنيته تجعل ذلك الموضوع قابلا للاستيعاب بشكل أفضل والتركيز على البنية تجعل الفرد أكثر اهتماما ورغبة في دراسة ذلك الموضوع وتكوين تصور عام عنه وبالتالي فهو يزود المتعلم بدافعية ذاتية داخلية تجعله أكر فهما واستيعابا له.

3- يكون الموضوع عرضة للنسيان بسرعة إذا لم يكن هناك تركيز على ذلك الموضوع.

4- فهم بنية الموضوع ومبادئه وأفكاره الأساسية تضيق الفجوة بين المعرفة المتقدمة للموضوع والمعرفة البدائية له في المستقبل.

 يتم ربط عناصر مجموعة بمجموعة أخرى في الرياضيات عن طريق ثلاث علاقات أساسية هي

1- الترتيب (اعتمادا على علاقة الترتيب نستطيع أن نرتب الأعداد والنقاط على خط الأعداد).

2- التكافؤ.

3- الاقتران.

الرياضيات الإغريقية والمنهج الاستدلالي الاستنتاجي

إن أهم ما يميز الرياضيات الإغريقية هو كتاب إقليدس (الأصول) الذي كتبه في حوالي 300 ق.م وقد أخذ ذلك العمل العظيم مكانة كل الكتابات الإغريقية التي سبقته طرح كل الأعمال السابقة له جانبا في موضوع الرياضيات.

إن الإسهام الأكثر شهرة الذي قدمه الإغريق القدماء للرياضيات هو صياغة المنهج الاستدلالي (الاستنتاجي) القائم على البديهيات والتأكيد عليه.

الاستدلال كقدرة عقلية يتكون من ثلاث مكونات أساسية هي

1- الاستنباط: هو استدلال من الكل إلى الجزء ويمكن تعريفه بأنه الأداء المعرفي العقلي الذي يتقدم بواسطة الفرد من القضايا العامة الكلية إلى القضايا الخاصة الجزئية.

الاكتشاف عن طريق الاستنباط:

الاستنباط هو توظيف مبادئ المنطق للوصول إلى تعميمات والتي منها تستخلص حالات خاصة وتطبيقات لها.فنظريات الهندسة الاقليدية اشتقت

(اكتشفت) من مجموعة المسلمات التي وضعت مسبقا. واستنادا لهذه النظريات تكتشف نتائج ونظريات أخرى، كما يتم البرهنة على صحة تمارين نظرية .المهم أنه عند التوصل إلى استكشاف عن طريق الاستقراء فإنه يظل فرضا أو تعميما محتملا ولا يقبل رياضيا كنظرية إلا بعد استنباطه منطقيا ومن ثم فإن الاستقراء والاستنباط معا هما اللذان يؤديان إلى ثبات ومصداقية التعميم الذي يتم اكتشافه.

مثال:

هل عدد المستقيمات التي تمر بنقطة خارج مستقيم تساوي أو أكبر من أو أقل من عدد النقط التي تنتمي للخط المستقيم؟

دعنا نبحث الأمر:

- ليكن أ ب مستقيما، نقطة " و " تقع خارجه.

- بحسب مسلمة إقليدس فإنه يوجد مستقيم واحد وواحد فقط يمر بأي نقطتين.

- إذن يمر بنقطة (و) عدد يساوي (بمعنى 1-1) عدد النقاط التي تنتمي للخط المستقيم (1).

- ومن المسلمة الخامسة لإقليدس يوجد مستقيم واحد وواحد فقط يمر بنقطة ويوازي المستقيم أ ب، أي أنه يوجد مستقيم إضافي لا يمر بأي من نقط أ ب (2)

-

و

من (1)، (2) يتبين أن نقطة (و) يمر بها عدد من المستقيمات أكبر بواحد عن عدد النقاط التي تنتمي للخط المستقيم (نلاحظ هنا أن العددين لا نهائيين).

أ

و

 

2- الاستقراء: هو أداء عقلي يتميز باستنتاج القاعدة العامة من جزئياتها وحالاتها الفردية (فؤاد) أي أن الاستقراء يعني الوصول من الحالات الخاصة (الجزئيات ذات الخاصية المشتركة) إلى الحالة العامة (القاعة أو القانون أو التعميم).

3- الاستنتاج: هو الوصول إلى نتيجة معينة من خلال المقدمات أو البيانات المتاحة ويعرفه المفتي بأنه العملية التي يتم بواسطتها استخلاص معلومة معينة من مقدمات لوحظت أو افترضت.

الاستقراء والاستنتاج في الرياضيات

الاستقراء والاستنتاج هما نوعان من أنواع الاستدلال والاستدلال هو استخلاص قضية من قضية أو عدة قضايا أخرى أو هو الوصول إلى نتيجة ما من نتيجة أو عدة نتائج أخرى.

مثال (1):

اعتمادا على:

- المثلث أ ب ج ، مجموع قياسات زواياه = 180

- والمثلث د هـ و ، مجموع قياسات زواياه = 180

- .... الخ (مثلثات أخرى كل واحد منها مجموع زواياه 180)

يمكن التوصل إلى النتيجة التالية :

مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي 180

مثال (2):

مجموع قياسات زوايا أي مضلع عدد أضلاعه ن يساوي (2ن–4) زاوية قائمة.

من هذه القضية العامة نستخلص أن:

مجموع قياسات زوايا الشكل الخماسي مثلا=2×5–4=6 زوايا قائمة أي 540

وكذلك مجموع قياسات زوايا الشكل السداسي=2×6–4=8 زوايا قائمة أي 720

تسمى القضية أو القضايا الأصلية التي هي أساس الاستدلال بالمقدمة أو المقدمات وتسمى القضية الجديدة المستخلصة من هذه المقدمات بالنتيجة.

لابد من وجود ثلاثة عناصر في أي استدلال منطقي:

1- مقدمة أو مقدمات يستدل بها.

2- نتيجة لازمة عن هذه المقدمات.

3- علاقة منطقية بين المقدمات والنتيجة.

الاستقراء هو الوصول إلى الأحكام العامة أو النتائج اعتمادا على حالات خاصة أو جزئيات من الحالة العامة أو الكلية وبهذا يكون نتيجة الاستقراء أعم من أية مقدمة من المقدمات التي تم الاعتماد عليها في الوصول إلى هذه النتيجة.

الاستنتاج أو الاستنباط هو الانتقال من الحكم الكلي إلى الحكم على الجزئيات. فهناك المقدمة التي هي حكم كلي والتي هي في العادة تعميم أو قانون رياضي.

فمثلا المقدمة التالية هي تعميم رياضي:

 مجموع قياسات زوايا المثلث=180 فإذا كان المثلث أ ب ج مثلثا قائم الزاوية ومتساوي الساقين فإن النتيجة التي يتم التوصل إليها هي أن كل زاوية من الزاويتين الأخرتين في المثلث أ ب ج=45 فالاستنتاج هو الوصول إلى نتيجة خاصة اعتمادا على مبدأ عام أو مفروض أو هو تطبيق المبدأ أو القاعدة العامة على حالة أو حالات خاصة من الحالات التي تنطبق عليها القاعدة أو المبدأ.

والتفكير الاستنتاجي لا يستغرق وقتا طويلا كالتفكير الاستقرائي فالحقائق والقوانين العامة تعطى بصورة مباشرة. في حين يحتاج الفرد الوقت والجهد حتى يتوصل إلى هذه القوانين من خلال الأمثلة والحالات الفردية التي تقدم له، أو يلاحظها الفرد بنفسه.

الطريقة الاستنتاجية والهندسة الاقليدية

الطريقة الاستنتاجية (الاستدلالية) التي اعتمدت في تنظيم علم الهندسة تستند إلى الركائز التالية:

1- إيراد بعض التعابير أو المصطلحات غير المعرفة.

2- النص على المسلمات أو البديهيات.

3- إيراد التعابير المعرفة.

4- النص على النظريات.

5- البرهان على هذه النظريات.

من التعابير الأساسية غير المعرفة في علم الهندسة: النقطة والمستقيم والمستوى.

مثال على التعريف:

الزاوية: اتحاد شعاعين صادرين من نقطة واحدة.

متوازي الأضلاع: هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين.

أورد إقليدس المسلمات الخمس التالية في كتابه المبادئ:

1- يمكن رسم مستقيم وحيد يمر بأية نقطتين.

2- يمكن مد القطعة المستقيمة بلا حدود من كلتي جهتيها.

3- يمكن رسم دائرة مركزها معلوم ونصف قطرها اختياري.

4- كل الزوايا القائمة متساوية.

5- إذا قطع مستقيم مستقيمين آخرين واقعين في مستو واحد وكان مجموع الزاويتين الداخلتين في إحدى جهتي المستقيم القاطع اصغر من قائمتين فان المستقيمين يتقاطعان في هذه الجهة.

كانت الفكرة السائدة بين الرياضيين هي أن صحة المسلمة تقاس بوضوحها فقبلو المسلمات الأربع الأولى أما المسلمة الخامسة فلم تكن بنفس وضوح المسلمات الأخرى. وقد زال الغموض الذي اكتنف مسلمة إقليدس الخامسة بفضل الرياضي الروسي لاباتشيفسكي وذلك باكتشافه الهندسة اللااقليدية (الزائدية) فقد احتفظ بمسلمات إقليدس كلها ما عدا المسلمة الخامسة والتي استبدلها بالمسلمة التالية:

(يمر من أية نقطة خارجة عن مستقيم معلوم أكثر من مستقيم واقع في مستوى المستقيم المعلوم وغير قاطع له). في الطريقة الاستنتاجية تستند النظرية إلى المسلمات أما المسلمات فتقبل دون برهان.

البرهان هو مناقشة تبين أن صحة النظرية أو الاستنتاج تنتج منطقيا عن صحة المسلمات المتفق عليا والنظريات السابقة التي تم برهنتها.

المراجع :

1- أبو زينة، فريد كامل ( 2003). مناهج الرياضيات المدرسية وتدريسها. بيروت، الكويت، العين: مكتبة الفلاح.

2- عبيد، وليم ؛ميخائيل، ناجي ديسقورس؛ أبو عميرة، محبات؛ السعيد، رضا مسعد (2003). المؤتمر العلمي الثالث ( تعليم وتعلم الرياضيات وتنمية الإبداع)، الجمعية المصرية لتربويات الرياضيات.

3- عبيد، وليم (2004). تعليم الرياضيات لجميع الأطفال ( في ضوء متطلبات المعايير وثقافة التفكير). دار المسيرة: عمان (الأردن).

4- إبراهيم، مجدي عزيز، موسوعة التدريس (الجزء الثالث(ح–ع))، دار المسيرة.

5- عبيد، وليم؛ الشرقاوي، عبد الفتاح؛ رياض، آمال؛ ، العنيزي، يوسف (1998).  تعليم وتعلم الرياضيات (في المرحلة الابتدائية). بيروت، الكويت، العين: مكتبة الفلاح.